А). ПРОЩЕ, конечно, так: Тюнгур - Инегень (по левобережью Катуни, 2-3 дня пути, места впечатляющие), затем на каком-нибудь попутном транспорте до Чибита, и к Шавлинским оз.
Б). ИНТЕРЕСНЕЕ, но значительно ДЛИННЕЕ и СЛОЖНЕЕ:
Тюнгур - оз. Аккем - мимо Белухи, через ледниковый перевал к р. Аргут - вверх по р. Шавле - оз. Шавлинские.
Сложные участки: район Белухи (все-таки ледники), спуск к Аргуту (надо правильно сориентироваться) , переправа через Аргут (нужна точная информация о месте переправы). Думаю, что для этого маршрута следует иметь хорошую физподготовку и солидный опыт горных походов.
Как-то поднимаясь к Шавлинским, я встретил крепких мужиков, которые прошли примерно по этому маршруту и спускались к Чибиту. Помнится, они сказали, что идут уже 15 дней...

Может быть, имеет смысл такой маршрут: 1. От Тюнгура сходить к Белухе, полазить по окрестностям и вернуться. Это 5-6 дней. 2. дальше по варианту А. 
Таким образом, маршрут будет состоять из 3 отдельных участков поэтому, в отличие от Б, вам не надо тащить весь запас продуктов. Выходя к Белухе, берете еды на 5-6 дней, Тюнгур-Иня вообще легкие рюкзаки с 3-дневным запасом еды, а в Чибите закупите продукты на остальной путь.